Question

已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在AB上．

（1）在圖1中，用尺規(guī)作圖作∠BAC的平分線AD交⊙O于D（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）；

（2）如圖2，設∠BAC的平分線AD交BC于E，⊙O半徑為5，AC=4，連接OD交BC于F．①求證：OD⊥BC；②求EF的長．

Answer 1

       解：（1）尺規(guī)作圖如圖1所示：

（2）①如圖2，∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠D，

∴∠CAD=∠D，

∴AC∥OD，

∴∠ACB=∠OFB，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFB=90°，

∴OD⊥BC；

②∵AC∥OD，

∴=，即=，

∴OF=2，

∵FD=5﹣2=3，

在RT△OFB中，BF==，

∵OD⊥BC，

∴CF=BF=，

∵AC∥OD，

∴△EFD∽△ECA，

∴==，

∴=，

∴EF=CF=×=．