(2009•泰安)如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線交于點F.
(1)求證:FD2=FB•FC;
(2)若G是BC的中點,連接GD,GD與EF垂直嗎?并說明理由.

【答案】分析:(1)要求證:FD2=FB•FC,只要證明△FBD∽△FDC,從而轉化為證明∠FDC=∠FBD;
(2)要證DG⊥EF,只要證明∠5+∠1=90°,轉化為證明∴∠3=∠4即可.
解答:(1)證明:∵E是Rt△ACD斜邊中點,
∴DE=EA,
∴∠A=∠2,(1分)
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠A,(2分)
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,
∴∠FDC=∠FBD,
∵∠F是公共角,
∴△FBD∽△FDC.(4分)

∴FD2=FB•FC.(6分)

(2)GD⊥EF.(7分)
理由如下:
∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線,
∴DG=GC.
∴∠3=∠4.
由(1)得∵△FBD∽△FDC,
∴∠4=∠1,
∴∠3=∠1.(9分)
∵∠3+∠5=90°,
∴∠5+∠1=90°.
∴DG⊥EF.(10分)
點評:證明線段的積相等可以轉化為證明三角形相似,證明兩直線垂直轉化為證明形成的角是直角.
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A.
B.
C.
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(3)若點P是(2)中求出的拋物線AE段上一動點(不與A、E重合),設四邊形OAPE的面積為S,求S的最大值.

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