Question

（2013年四川資陽(yáng)12分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A、C、D作拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點(diǎn)為E，連結(jié)CE，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)F，交線(xiàn)段CD于點(diǎn)K，點(diǎn)M、N分別是直線(xiàn)l和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MN，當(dāng)線(xiàn)段MN恰好被BC垂直平分時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)M作一條直線(xiàn)，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線(xiàn)的解析式．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5�！帱c(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，4）。
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)A、C、D，
∴，解得]。
∴拋物線(xiàn)的解析式為。
（2）連接BD交對(duì)稱(chēng)軸于G，

在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC。
又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE。
過(guò)G作GN⊥BC于H，交x軸于N，易證GH=HN，
∴點(diǎn)G與點(diǎn)M重合。
∴直線(xiàn)BD的解析式。 
根據(jù)拋物線(xiàn)可知對(duì)稱(chēng)軸方程為x=，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），即GF= MF=，BF=。
∴。
又∵M(jìn)N被BC垂直平分，∴BM=BN=。∴BN=OB+BN=3+。
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）。
（3）過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P₁，
易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，
由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線(xiàn)P₁M必與線(xiàn)段CD相交，
設(shè)交點(diǎn)為Q₁，四邊形AP₁Q₁D的面積為S₁，四邊形P₁ECQ₁的面積為S₂，點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（a，0），則S₂=12。
若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，則P₁F=﹣a，P₁E=7﹣a，
由△MKQ₁∽△MFP₁，得。∴Q₁K=5P₁F=5（﹣a）。
∴CQ₁=﹣5（﹣a）=5a﹣10。
∴�！�。
根據(jù)P₁（，0），M（，）可求直線(xiàn)P₁M的解析式為。
若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，同理可得直線(xiàn)P₂M的解析式為。
綜上所述，該直線(xiàn)的解析式為或。

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式。
（2）連接BD交對(duì)稱(chēng)軸于G，過(guò)G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)BD的解析式，根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸公式可求對(duì)稱(chēng)軸，由此即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。
（3）過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P₁，分點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，兩種情況討論即可求出直線(xiàn)的解析式。