【題目】實(shí)驗(yàn)探究:
如圖,和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,交于、點(diǎn).
(問題發(fā)現(xiàn))
(1)把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖,、的關(guān)系是_________(“相等”或“不相等”),請(qǐng)直接寫出答案;
(類比探究)
(2)若,,把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí),在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,并求出此時(shí)的長(zhǎng);
(拓展延伸)
(3)在(2)的條件下,請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段的最小值為_________.
【答案】(1)相等;(2)或;(3)1.
【解析】
(1)依據(jù)△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,即可BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,進(jìn)而得到△ABD≌△ACE,可得出BD=CE;
(2)分兩種情況:依據(jù)∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,可得△PCD∽△ACE,即可得到,進(jìn)而得到PD=;依據(jù)∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,可得△BAD∽△BPE,即可得到,進(jìn)而得出PB=,PD=BD+PB=;
(3)以A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PD的值最。
(1)∵△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
∴BA=CA,DA=EA,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
故答案為:相等.
(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,若點(diǎn)C在AD上,如圖2所示:
∵∠EAC=90°,
∴CE=,
∵∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,
∴△PCD∽△ACE,
∴,即
∴PD=
若點(diǎn)B在AE上,如圖2所示:
∵∠BAD=90°,
∴Rt△ABD中,,BE=AEAB=2,
∵∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,
∴△BAD∽△BPE,
∴,即,
解得PB=,
∴PD=BD+PB=,
綜上可得,PD的長(zhǎng)為或.
(2)如圖3所示,以A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PD的值最小
在Rt△PED中,PD=DEsin∠PED,因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大。
當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中△ACB的位置時(shí),
在Rt△ACE中,CE=,
在Rt△DAE中,DE=,
∵四邊形ACPB是正方形,
∴PC=AB=3,
∴PE=3+4=7,
在Rt△PDE中,PD=,
即旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過,兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,連結(jié)CD.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí),求的面積的最大值;
②該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.
已知:如圖1,和外的一點(diǎn).
求作:過點(diǎn)作的切線.
作法:如圖2,
①連接;
②作線段的垂直平分線,直線交于;
③以點(diǎn)為圓心,為半徑作圓,交于點(diǎn)和;
④作直線和.
則,就是所求作的的切線.
根據(jù)上述作圖過程,回答問題:
(1)用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖2中的圖形;
(2)完成下面的證明:
證明:連接,,
∵由作圖可知是的直徑,
∴(______)(填依據(jù)),
∴,,
又∵和是的半徑,
∴,就是的切線(______)(填依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).
(1)若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),那么幾秒后△PBQ的面積等于4cm2?
(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),那么幾秒后,PQ的長(zhǎng)度等于5cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面積能否等于7cm2? 請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在半徑等于5 cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為cm的弦,則此弦所對(duì)的圓周角為
A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或120°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,和都是等邊三角形,且點(diǎn)A、C、E在同一直線上,與、分別交于點(diǎn)F、M,與交于點(diǎn)N.下列結(jié)論正確的是_______(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).
①;②;③;④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y1=﹣2x經(jīng)過點(diǎn)P(﹣2,a),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在反比例函數(shù)y2=(k≠0)的圖象上.
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求反比例函數(shù)的解析式,并直接寫出當(dāng)y2<2時(shí)自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在樓AB與樓CD之間有一旗桿EF,從AB頂部A點(diǎn)處經(jīng)過旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到樓CD的底部D點(diǎn),且俯角為45°,從樓CD頂部C點(diǎn)處經(jīng)過旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到樓AB的G點(diǎn),BG=1米,且俯角為30°,已知樓AB高20米,求旗桿EF的高度.(結(jié)果精確到1米)
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