Question

如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于一點O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度數(shù)．

Answer 1

解：方法1：設(shè)AB=1，
∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，
∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OA=1，AE=，AC=2，
∴，
∵∠OAE=∠EAC，
∴△AOE∽△AEC，
∴∠AEO=∠ACE=30°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，
∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，
∴∠BOE=75°．
方法2：∵ABCD為矩形，
∴∠BAD=90°
∵ABCD相交于O點，
∴AO=CO=BO=DO
∵AE平分∠BAD交BC于E點，
∴∠BAE=∠EAD=45°
∵∠EAC=15°，
∴∠BA0=60°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=60°，
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠AOB=60°
∴△AOB為等邊三角形，即AB=OA=BO，
又∵∠ABC=90°，∠EAB=45°，∠ABC+∠EAB+∠BEA=180，
∴∠BEA=45°，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=BA，
∵BE=BA而BA=BO，
∴BE=BO
即△OBE為等腰三角形
∵∠ABC=90°∠ABO=60°
∴∠OBE=30°
∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．
故∠BOE的度數(shù)75°．
分析：根據(jù)題意可以知道∠BAE=∠AEB=45°，進(jìn)而求得∠ACB=30°，即可得出AB、OA、AC、AE之間的關(guān)系，證明△AOE∽△AEC，求得∠COE的度數(shù)，即可得出∠BOE的度數(shù)．
點評：本題考查矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判斷．合理利用題中所給條件，結(jié)合圖形的性質(zhì)，得出角度之間的關(guān)系即可．