Question

（2004•金華）已知：四邊形ABCD為圓內(nèi)接矩形，過(guò)點(diǎn)D作圓的切線(xiàn)DP，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，且PD=15，PA=9．
（1）求AD與AB的長(zhǎng)；
（2）如果點(diǎn)E為PD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與運(yùn)動(dòng)至P，D），過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF，交PB于點(diǎn)F，并將四邊形PBCD的周長(zhǎng)平分，記△PEF的面積為y，PE的長(zhǎng)為x，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果點(diǎn)E為折線(xiàn)DCB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與運(yùn)動(dòng)至D，B），過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF交PB于點(diǎn)F，試猜想直線(xiàn)EF能否將四邊形PBCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若能，請(qǐng)求出BF的長(zhǎng)．若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形是圓內(nèi)接矩形可知，∠PAD=90°．根據(jù)勾股定理便可求出AD的長(zhǎng)．
因?yàn)镻D是⊙O的切線(xiàn)，所以根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是90°構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)即可求出AD與AB的長(zhǎng)；
（2）因?yàn)镻E=x，所以根據(jù)EN=PE•sin∠P=x．建立起EN和x之間的關(guān)系，利用三角形的面積公式求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)O作直線(xiàn)EF，利用矩形的性質(zhì)，S_△ODE=S_△OBF，S_△BCD=S_△ABD，可推出直線(xiàn)EF所割矩形PBCD面積相等．
由△ODE≌△OBF可得DE=BF，又因?yàn)锳D=BC，AB=CD，所以可計(jì)算出直線(xiàn)EF所割矩形ABCD周長(zhǎng)相等．
解答：解：（1）連接BD．（如圖1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥PB．
∴∠PAD=∠BAD=90°．△PAD與△ABD都是直角三角形．
∵PD=15，PA=9，
∴AD=12．
∵DP切⊙O于D，
∴BD⊥DP．
∴∠PDB=90°．
∵∠P+∠ADP=∠ADP+∠ADB=90°，
∴∠P=∠ADB．
∵tan∠P===，
∴tan∠ADB==．
∴AB=AD•tan∠ADB==16；

（2）（如圖2）
∵過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF，交PB于點(diǎn)F，并將四邊形PBCD的周長(zhǎng)平分，
AB=16，AD=12，
∴四邊形PBCD的周長(zhǎng)為：15+16+12+16+9=68，
∴PE+PF=34，
∵PE=x，
∴PF=34-x，
EN=PE•sin∠P=x．
設(shè)S_△PEF=y，
∴y=EN•PF=×x•（34-x）=-x²+x（0＜x＜15）；

（3）答：不可以．
證明：在折線(xiàn)DCB上任取一點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交AB于F．（如圖3）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴∠ODE=∠OBF．
∵OD=OB=r，∠DOE=∠FOB，
∴△ODE≌△OBF．
∴S_△ODE=S_△OBF
∴S_梯形ADEF=S_{四邊形ADOF}+S_△ODE=S_{四邊形ADOF}+S_△OBF=S_△ABD
同理，S_梯形BCEF=S_△BCD
∵S_△BCD=S_△ABD
∴直線(xiàn)EF所割矩形PBCD面積相等．
由△ODE≌△OBF可得DE=BF．
∴DE+AD+AF=BF+AD+AF=AD+AB，
BF+BC+CE=DE+BC+CE=BC+CD．
∵AD=BC，AB=CD，
∴直線(xiàn)EF所割矩形PBCD周長(zhǎng)相等．
∵這樣的E點(diǎn)無(wú)數(shù)
而直線(xiàn)F″E″不能平分三角形DPA的周長(zhǎng)和面積，
∴不存在BF（如圖4）．
點(diǎn)評(píng)：此題不僅考查了求圓的弦長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)，還考查了利用面積建立函數(shù)關(guān)系式、探索與圓相關(guān)的四邊形的周長(zhǎng)和面積的等量關(guān)系等內(nèi)容，有一定的開(kāi)放性，旨在考查同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)能力．