Question

【題目】已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：
（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+ ，PA= ，則： ①線段PB= ， PC=；
②猜想：PA2 ， PB2 ， PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為；
（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；
（3）若動點P滿足 = ，求 的值．（提示：請利用備用圖進行探求）

Answer 1

【答案】
（1）；2；?PA2+PB2=PQ2
（2）解：如圖②：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2

（3）解：如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

① 當點P位于點P1處時．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： = = DC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ = ．

②當點P位于點P2處時．

∵ = ，

∴ ．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得： = = ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ ．

綜上所述， 的比值為 或

【解析】解：（1）如圖①：
① △ABC是等腰直直角三角形，AC=1+
∴AB= = = + ，
∵PA= ，
∴PB= ，
作CD⊥AB于D，則AD=CD= ，
∴PD=AD﹣PA= ，
在Rt△PCD中，PC= =2，
故答案為： ，2；
②如圖1．
∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DCPD+PD2 ， PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2 ，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2 ，
∴AP2+BP2=2PC2 ．
∵△CPQ為等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2 ．
∴AP2+BP2=PQ2
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長，然后根據(jù)PA的長，可求得PB的長；過點C作CD⊥AB，垂足為D，從而可求得CD、PD的長，然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長；②△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，從而可求得：CD=AD=DB，然后根據(jù)AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可證明AP2+BP2=2PC2 ， 因為在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可證明AP2+BP2=2PC2 ， 因為在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；（3）根據(jù)點P所在的位置畫出圖形，然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長度即可．