Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，以點(diǎn)B為圓心的圓交于OB于C，交⊙O于點(diǎn)E、F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．連結(jié)EC并延長(zhǎng)交⊙O于G．

(1)求證：AE是⊙B的切線；

(2)求證：EG平分∠AEF；

(3)若點(diǎn)M為AO上一點(diǎn)，且GM∥BE，求證：GM等于⊙O的半徑．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵　AB是⊙O的直徑，∴　∠AEB=90°，即AE⊥BE． 又∵　BE是⊙B的半徑，∴　AE是⊙B的切線． (2)連結(jié)CF． ∵　AE是⊙B的切線，∴　∠AEC=∠CFE． ∵　EF是公共弦，O、B為兩圓的圓心， ∴　OB垂直平分EF．∴　=∴　∠CFE=∠CEF=∠AEC． 即EG平分∠AEF． (3)連結(jié)OG． ∵　MG∥BE，∴　∠BMG=∠MBE． ∵　∠AEB=90°，且AB⊥EF，∴　∠AEF=∠MBE． ∴　∠MOG=2∠AEG=∠AEF=∠MBE=∠OMG． ∴　GM=GO．即GM等于⊙O的半徑．

提示：

本題主要考查：(1)運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行論證的能力；(2)能否將結(jié)論與已知圖形結(jié)合起來(lái)添加輔助線．