Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在BA的延長線上，且EA=AB，ED的延長線交BC于F，連AF．
（1）請(qǐng)寫出一對(duì)相似三角形并證明；
（2）當(dāng)AF=4時(shí)，求EF的長．

Answer 1

（1）△ABF∽△DCF
證明：過點(diǎn)A作AG∥BC交EF于G，
則，
∵EA=AB，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，
∴，
∴
又∵AB=AC，AD=DC，
∴CD=AC=AB，即，
∴，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABF∽△DCF；

（2）解：∵△ABF∽△DCF，（3），
∴（4），
∴DF=2，
又∵AG∥BC，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，
∴，
∴DG=2，
∴GF=4，
∵AG∥BC，EA=AB，
∴，
∴EF=8．
分析：（1）△ABF∽△DCF，過點(diǎn)A作AG∥BC交EF于G，則根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到，然后利用已知條件 ，接著利用由AB=AC得到∠B=∠C，利用這些條件即可確定△ABF∽△DCF；
（2）利用（1）中結(jié)論和相似三角形的性質(zhì)可以得到（3），接著得到（4），這樣可以求出DF=2，又由AG∥BC，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)可以得到，從而求出DG=2，GF=4，再由AG∥BC，EA=AB得到，由此即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，證明相似三角形主要利用了平行線分線段成比例的定理，求線段的長度分別利用了相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，題目比較麻煩，解題要有耐心．