Question

如圖1，△DEF的頂點(diǎn)D在△ABC的邊BC上（不與B、C重合），且∠BAC+∠EDF=180°，AB=k•DF，AC=k•DE，點(diǎn)Q為EF的中點(diǎn)，直線DQ交直線AB于點(diǎn)P．
（1）猜想∠BPD與∠FDB的關(guān)系，并加以證明；
（2）當(dāng)△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否始終成立？若成立，請(qǐng)你寫出真命題；若不成立請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并給出正確的結(jié)論（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題要通過(guò)構(gòu)造相似三角形求解；延長(zhǎng)ED到M，使得ED=DM，根據(jù)AB、DF以及AC、DM的比例關(guān)系，即可證得△BAC∽△FDM，得∠M=∠C，設(shè)DE與AB的交點(diǎn)為G，DF與AC的交點(diǎn)為N，則∠AND=∠FDC+∠C，而根據(jù)∠BAC+∠EDF=180°可證得A、G、D、M四點(diǎn)共圓，即∠BGD=∠BPD+∠EDQ，而DQ是△EMF的中位線，可得DQ∥MF，即∠EDQ=∠M=∠C，通過(guò)等量代換，可證得∠BPD=∠FDC，即∠BPD與∠FDB互補(bǔ)．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC的上方時(shí)，（1）的結(jié)論依然成立，但是當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC的下方時(shí)，情況有所不同；
思路同（1），仍然是延長(zhǎng)ED到M，使得ED=DM，同（1）證得△FDM∽△BAC，設(shè)直線DF與AB的交點(diǎn)為H，那么有DQ∥MF可得：∠F=∠B=∠QDF=∠HDP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得：∠FDB=∠BHD+∠B，∠BPD=∠BHD+∠PDH，通過(guò)等量代換即可證得∠FDB=∠BPD．
解答：解：（1）∠BPD與∠FDB的關(guān)系是互補(bǔ)；
證明：如圖1，延長(zhǎng)ED至M，使得DM=DE，連接FM；
則∠BAC=∠FDM=180°-∠EDF；
∵AB=k•DF，AC=k•DE，即，
∴，
∴△BAC∽△FDM，得∠M=∠C；
由于D、Q分別是EM、EF的中點(diǎn)，所以DQ是△EMF的中位線，得：
DQ∥MF，則∠M=∠1=∠C；
∵∠BAC+∠EDF=180°，
∴A、D、G、H四點(diǎn)共圓，得∠3=∠2；
由三角形的外角性質(zhì)知：∠3=∠1+∠BPD，∠2=∠HDC+∠C；
∵∠1=∠C，∠3=∠2，
∴∠BPD=∠HDC，即∠BPD與∠FDB互補(bǔ)．


（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC上方時(shí)，結(jié)論與（1）相同，證法一致；
②當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC下方時(shí)，如圖2；
延長(zhǎng)ED至M，使得DM=DE，連接FM；
同（1）可證得：△FDM∽△BAC，得∠7=∠B；
延長(zhǎng)FD交AB于H，則∠4=∠6；
同（1）可知：DQ是△EMF的中位線，得：∠7=∠6=∠4，故∠B=∠4；
由三角形的外角性質(zhì)知：∠BPD=∠5+∠4，∠FDB=∠B+∠5，
∴∠BPD=∠FDB；
綜上可知：當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC上方時(shí)，∠BPD、∠FDB互補(bǔ)；當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC下方時(shí)，∠BPD、∠FDB相等．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，還涉及到四點(diǎn)共圓的判定方法、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，正確地構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵，難度較大．