Question

問題提出：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共(m＋n)個(gè)點(diǎn)作為頂

點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？

問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：

探究一：以△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)P，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互

不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時(shí)可把△ABC分割成3個(gè)互不重疊的小三角形．

探究二：以△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)

互不重疊的小三角形？

在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種

情況：

一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部．不妨設(shè)點(diǎn)Q在△PAC的內(nèi)部，如圖②；

另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③．

顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個(gè)互不重疊的小三角形．

探究三：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成      個(gè)

互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖．

探究四：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共(m＋3)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成        個(gè)

互不重疊的小三角形．

探究拓展：以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共(m＋4)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把四邊形分割成

        個(gè)互不重疊的小三角形．

問題解決：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共(m＋n)個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成

        個(gè)互不重疊的小三角形．

實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個(gè)點(diǎn)，共2020個(gè)頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個(gè)互

不重疊的小三角形？(要求列式計(jì)算)

 

Answer 1

【答案】

探究三： 7，分割示意圖見解析；探究四：2m+1；探究拓展：2m＋2；問題解決： 2m＋n－2；實(shí)際應(yīng)用：4030

【解析】解：探究三： 7。分割示意圖如下（答案不唯一）：

探究四：三角形內(nèi)部1個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成3部分，3=3+2（1－1），

三角形內(nèi)部2個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成5部分，5=3+2（2-1），

三角形內(nèi)部3個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成7部分，7=3+2（3-1），

…，

所以，三角形內(nèi)部有m個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成3＋2（m－1）=2m+1部分。

探究拓展：2m＋2。

問題解決： 2m＋n－2。

實(shí)際應(yīng)用：把n=8，m=2012代入上述代數(shù)式，得

2m＋n－2=2×2012＋8－2=4024＋8－2=4030。

探究三：分三角形內(nèi)部三點(diǎn)共線與不共線兩種情況作出分割示意圖，查出分成的部分即可。

探究四：根據(jù)前三個(gè)探究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個(gè)點(diǎn)，分割部分增加2部分，根據(jù)此規(guī)律寫出（m+3）個(gè)點(diǎn)分割的部分?jǐn)?shù)即可。

探究拓展：類似于三角形的推理寫出規(guī)律整理即可得解。

問題解決：根據(jù)規(guī)律，把相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)換成m、n整理即可得解。

實(shí)際應(yīng)用：把公式中的相應(yīng)的字母，換成具體的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算即可得解。