Question

已知：正方形ABCD，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)AD至AP，連接BP、DP．
（1）若將AD順時針旋轉(zhuǎn)30°至AP，如圖3所示，求∠BPD的度數(shù)？
（2）若將AD順時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）至AP，求∠BPD的度數(shù)？
（3）若將AD逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°）至AP，請分別求出0°＜α＜90°、α=90°、90°＜α＜180°三種情況下的∠BPD的度數(shù)（圖4、圖5、圖6）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以判定△ABP是等邊三角形后即可得到∠APB=60°，進(jìn)而可以求得∠BPD的度數(shù)；
（2）利用上題證得的結(jié)論即可得到∠ABP+∠BPA+∠APD+∠ADP=270°．從而可以得到∠BPD=∠BPA+∠APD=×270°=135°．
（3）分①當(dāng)0°＜α＜90°時、②當(dāng)α=90°時、③當(dāng)90°＜α＜180°時三種情況討論，證明的方法同（2）．
解答：解：（1）∵AD=AP，∴∠APD=∠ADP．
∵∠DAP=30°，
∴∠APD=∠ADP=（180°-∠DAP）=（180°-30°）=75°．（1分）
∵∠DAP=30°，
∴∠BAP=90°-∠DAP=60°．（1分）
又∵AB=AD=AP，∴△ABP是等邊三角形．
∴∠APB=60°．
∴∠BPD=∠BPA+∠APD=60°+75°=135°．（1分）
說明：其他方法，可參照得分．

（2）∵∠ABP+∠BPD+∠ADP+∠DAB=360°，（1分）∠DAB=90°，
∴∠ABP+∠BPD+∠ADP=270°，
即∠ABP+∠BPA+∠APD+∠ADP=270°．
∵AD=AP，∴∠APD=∠ADP．
∵AB=AD=AP，∴∠ABP=∠APB．
∴∠BPD=∠BPA+∠APD=×270°=135°．（1分）
說明：其他方法請參照評分．

（3）①當(dāng)0°＜α＜90°時，如圖2
∵AD=AP，∠DAP=α
∴∠APD=∠ADP=α．
∵AB=AD=AP，∠BAP=90°+α，
∴∠ABP=∠APB==45°-α．
∴∠BPD=∠APD-∠APB==45°．（2分）
②當(dāng)α=90°時，如圖3，
∵∠BAD+∠DAP=180°，
∴點(diǎn)B、A、P在同一直線上．
∴∠BPD=∠APD=（180°-90°）=45°．（1分）
③當(dāng)90°＜α＜180°時，如圖4．
∵∠APD=α．∠BAP=[360°-90°-α]=270°-α．∠BPA=α-45°．
∴∠BPD=∠BPA+∠DPA=90°-α-45°=45°．（2分）
說明：其他方法請參照評分．

點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變化、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法等知識的綜合應(yīng)用能力，難度較大．