Question

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90゜，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，OE⊥OF交AC于E點(diǎn)、交BC于F點(diǎn)，EM⊥AB，F(xiàn)N⊥AB，垂足分別為M、N，
求證：AM=ON．

Answer 1

分析：首先連接連接OC，EF，易證得C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，又由圓周角定理與直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，證得∠A=∠EFO，繼而證得△EOF∽△EMA，可得

AM

EM

=

OF

EO

，易證得∴△EOM∽∠OFN，可得

ON

EM

=

OF

EO

，即可證得結(jié)論．

解答：證明：連接OC，EF，
∵在Rt△ACB中，∠C=90゜，OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠C+∠EOF=180°，
∴C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠ECO=∠EFO，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OA=OC=OB=

1

2

AB，
∴∠A=∠ECO，
∴∠A=∠EFO，
∵EM⊥AB，
∴∠AME=∠EOF=90°，
∴△EOF∽△EMA，
∴

AM

EM

=

OF

EO

，
∵FN⊥AB，EM⊥AB，
∴∠FON+∠NFO=90°，
∴∠EOM+∠MEO=90°，
∵∠EOM+∠FON=90°，
∴∠MEO=∠FON，
∴△EOM∽∠OFN，
∴

ON

EM

=

OF

EO

，
∴

AM

EM

=

ON

EM

，
∴AM=ON．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．