Question

如圖1所示，一架長4m的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面所成的角α為60度．
（1）求AO與BO的長；
（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行．
①如圖2所示，設A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC：BD=2：3，試計算梯子頂端NO下滑了多少米？
②如圖3所示，當A點下滑到A′點，B點向右滑行到B′點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P′點，若∠POP′=15°，試求AA′的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）直角三角形中已知斜邊和一個角，那么兩條直角邊就容易求得了．
（2）①可先設出AC，BD的長，然后表示出OC，OD的長，根據滑動前后梯子長不變的特點在直角三角形WMC中運用勾股定理求出未知數的值，然后求出AC，BD的長．
②可根據直角三角形斜邊中線定理，和已知的∠ABO的度數，來求出∠B′A′O的度數，然后求出OA′的長，從而求出AA′的長．
解答：解：（1）BO=AB•cos60°=4×=2（m）
AO=AB•sin60°=4×=2（m）
答：BO=2m；AO=2m．

（2）①設AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．
根據勾股定理有OC²+OD²=CD²．
∴（2-2x）²+（2+3x）²=4²．
∴13x²+（12-8）x=0．
∵x≠0，
∴13x+12-8=0，
∴x=m．
∴AC=2x=m．
答：梯子頂端A沿NO下滑了m．

②∵P點和P′點分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點．
∴PA=PO，P′A′=P′O．
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
又∵∠PAO=30°．
∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′•cos45°=4×=2（m）．
∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．
點評：本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進行解決．本題中要注意直角三角形斜邊中線定理的運用．