Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，若PA⊥AB，PO過AC的中點(diǎn)M．
（Ⅰ）求證：MO=

1

2

BC；
（Ⅱ）求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理來證明MO=

1

2

BC；
（2）要證PC是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠PCO=90°即可．

解答：證明：（1）∵AB是直徑，∴O是AB中點(diǎn)；
又∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，
∴OM是三角形ABC中位線，
∴MO=

1

2

BC；

（2）證明：連接OC，
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90°．（1分）
∵PO過AC的中點(diǎn)M，OA=OC，
∴PO平分∠AOC．
∴∠AOP=∠COP．（3分）
∴在△PAO與△PCO中有OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO．
∴△PAO≌△PCO．（6分）
∴∠PCO=∠PA0=90°．
即PC是⊙O的切線．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．