Question

已知：如圖（1）菱形ABCD的邊長為4，∠ADC=120°，如圖（2），將菱形沿著AC剪開，如圖（3），將△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與△ACD疊放在一起，得到四邊形AA′CD，AC與A′D相交于點(diǎn)E，連接AA′．
（1）填空：在圖（1）中，AC=

4

3

．BD=

4

．在圖（3）中，四邊形AA′CD是

等腰

梯形；
（2）請寫出圖（3）中三對相似三角形（不含全等三角形），并選擇其中的一對加以證明；
（3）求AD：DE的值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)F，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠DAC的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出AF的長，故可得出AC的長，同理可求出BD的長，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷出四邊形AA′CD的形狀；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理可得出相似的三角形；
（3）先判斷出△ADE的形狀，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出AD：DE的值．

解答：解：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AF，BD=2DF，
∵AD=4，∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴∠DAC=

1

2

∠DAB=

1

2

×60°=30°，
在Rt△ADF中，AF=AD•cos30°=4×

3

2

=2

3

，DF=AD•sin30°=4×

1

2

=2，
∴AC=2AF=4

3

，BD=2DF=2×2=4，
∵AC=A′D，CD∥AA′，∠ADC=120°，
∴四邊形AA′CD是等腰梯形；
故答案為：4

3

，4，等腰；

（2）△CDE∽△AA′E；△ADE∽△ACA′；△A′CE∽△ADA′．
下面證明△CDE∽△AA′E：
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD=A′C，
∴CD∥AA′，
∴△CDE∽△AA′E；

（3）∵∠ADC=120°，∠CDE=30°，
∴∠ADE=90°，
∵∠DAE=30°，
∴

AD

DE

=cot30°=

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是相似形綜合題，此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，等腰梯形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識，難度適中．