Question

有一系列等式：
1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²
2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²
3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²
4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²
…
（1）根據(jù)你的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出8×9×10×11+1的結(jié)果______
（2）試猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一個數(shù)的平方，并予以證明．

Answer 1

解：（1）根據(jù)觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，得到8×9×10×11+1=（8²+3×8+1）²=89²；
故答案為：89²；

（2）依此類推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²，
理由如下：等式左邊=（n²+3n）（n²+3n+2）+1=n⁴+6n³+9n²+2n²+6n+1=n⁴+6n³+11n²+6n+1，
等式右邊=（n²+3n+1）²=（n²+1）²+2•3n•（n²+1）+9n²=n⁴+2n²+1+6n³+6n+9n²=n⁴+6n³+11n²+6n+1，
左邊=右邊．
分析：（1）根據(jù)規(guī)律列式進行計算即可得解；
（2）觀察規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)，四個連續(xù)自然數(shù)的乘積與1的和等于第一個數(shù)的平方，加上前第一個數(shù)的3倍再加上1然后平方．
點評：此題考查了完全平方公式，仔細觀察題目信息，得到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，利用多項式的乘法運算法則進行計算時較為復(fù)雜，要仔細運算．