Question

拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3

3

，0），B（

3

，0）與y軸交于點(diǎn)C，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在△BCD中，邊CD的高為h．
（1）若c=ka，求系數(shù)k的值；
（2）當(dāng)∠ACB=90°，求a及h的值；
（3）當(dāng)∠ACB≥90°時(shí)，經(jīng)過(guò)探究、猜想請(qǐng)你直接寫(xiě)出h的取值范圍．
（不要求書(shū)寫(xiě)探究、猜想的過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）由于A、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可用交點(diǎn)式表示該拋物線的解析式，展開(kāi)后即可得到c、a的關(guān)系式，進(jìn)而可判斷出k的值．
（2）若∠ACB=90°，根據(jù)射影定理即可求得OC的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，進(jìn)而可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；過(guò)D作DE⊥y軸于E，過(guò)B作BF⊥CH于F，那么BF就是所求的h，延長(zhǎng)DC交x軸于H，易證得△DCE∽△HCO，根據(jù)得到的比例線段，可求得OH的長(zhǎng)，從而得到BH的值，易求得∠OHC的度數(shù)，在Rt△BFH中，通過(guò)解直角三角形即可求得BF的長(zhǎng)即h的值．
（3）∠ACB≥90°時(shí)，h隨∠ACB度數(shù)的增大而減小，由此可確定h的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)锳（-3

3

，0），B（

3

，0）在拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）上，
所以有，y=a（x+3

3

）（x-

3

）=a（x2+2

3

x-9），
又因?yàn)閏=-9a
所以k=-9．

（2）由于∠ACB=90°時(shí)，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°．
可得∠ACO=∠OBC．
∴△AOC∽△COB．
∴

AO

OC

=

OC

OB

，
即OC²=OA•OB=3

3

×

3

=9．
∴OC=3．
∵C（0-3），由（1）知-9a，
∴a=

1

3

．
過(guò)D作DE⊥OC交y軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，過(guò)B作BF⊥CH于點(diǎn)F．
即BF是邊DC的高h(yuǎn)．
因?yàn)镈是拋物線的頂點(diǎn)，
所以D（-

3

，-4），
故OE=4，又OC=3，可得CE=1，DE=

3

．
易證△HCO∽△DCE，有

HO

DE

=

CO

EC

=

3

1

=3，
故OH=3DE=3

3

，BH=OH-OB=2

3

．
由于∠COH=90°，OC=3，OH=3

3

，由勾股定理知CH=6，有∠OHC=30°，
又因?yàn)樵赗t△BHF中，BH=2

3

，
所以BF=

3

，即h=

3

．

（3）當(dāng)∠ACB≥90°時(shí)，猜想0＜h≤

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用；（2）題中，能夠根據(jù)已知條件正確的構(gòu)造與所求相關(guān)的相似三角形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．