Question

一等腰梯形兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線段的平方和為8，則這個(gè)等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由等腰梯形的性質(zhì)，求得MN⊥BC，EF=（AD+BC），然后過點(diǎn)D作DK∥AC交BC的延長(zhǎng)線于K，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，即可得四邊形ACKD是平行四邊形，四邊形MNHD是矩形，則可得△BDK是等腰三角形，由三線合一的知識(shí)，可得BH=EF，在Rt△BDH中由勾股定理即可求得答案．
解答：已知：如圖，AD∥BC，AB=CD，E，N，F(xiàn)，M分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且EF²+MN²=8．
求：這個(gè)等腰梯形的對(duì)角長(zhǎng)．
解：過點(diǎn)D作DK∥AC交BC的延長(zhǎng)線于K，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，AB=CD，E，N，F(xiàn)，M分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EF=（AD+BC），MN⊥BC，AC=BD，
∴四邊形ACKD是平行四邊形，
∴DK=AC=BD，CK=AD，
∴BH=KH=BK=（BC+CK）=（BC+AD），
∴BH=EF，
∵四邊形MNHD是矩形，
∴DH=MN，
∴在Rt△BDH中，BD²=BH²+DH²=EF²+MN²=8，
∴BD=2．
∴這個(gè)等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)為2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形與矩形的性質(zhì)與判定以及等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，而且需要同學(xué)們將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．