Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DF⊥AC，E是DF的中點，聯(lián)結(jié)AE、BF．求證：（1）DF²=CF•AF； （2）AE⊥BF．

Answer 1

證明：（1）取CF的中點G，連接DG，DA，
∵D是BC的中點，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵DF⊥AC，
∴∠DAF=∠FDC，
∴△DAF∽△DFC，
∴AF：DF=DF：CF，
∴DF²=CF•AF；
（2）∵E是DF的中點，G是FC的中點，
∴AF：DF=EF：FG，
∴△AFE∽△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵G是FC的中點
∴在△CBF中，DG∥BF，
∴∠GDF=∠BFD，
∴∠FAE=∠BFD，
∵AF⊥DF，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠BFD+∠FEA=90°，
∴AE⊥BF．
分析：（1）取CF的中點G，連接DG，DA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證明△DAF∽△DFC即可；
（2））因為E是DF的中點，G是FC的中點，所以AF：DF=EF：FG，所以△AFE∽△DFG，進而證明∠FAE=∠FDG，再證明∠BFD+∠FEA=90°，即可得到AE⊥BF．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定和性質(zhì)，題目的綜合性強，難度不小，對學(xué)生的解題能力要求很高．