Question

在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P和點(diǎn)D分別在邊AB和邊AC上，且PC=PD．
（1）如圖1，當(dāng)tanB=1時，請寫出線段CD與線段PB數(shù)量關(guān)系：
（2）如圖2，當(dāng)tanB=2時，求證：2BC=AD+PB．
（3）如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)B關(guān)于直線CP對稱點(diǎn)E恰好落在邊AC上，連接PE、BD，BD分別交PE、CP于M、N兩點(diǎn)，且AD=2．求線段MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點(diǎn)P分別作PH⊥AC于點(diǎn)H，PF⊥BC于點(diǎn)F，又由在△ABC中，∠ACB=90°，易得四邊形PFCE是矩形，即可得CH=PF，又由tanB=1，可得∠B=45°，PF=BF，由三角函數(shù)可求得PF═PB，由PC=PD，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得CD=2CH=2PF，即可求得答案；
（2）證明方法同（1），首先可得四邊形PFCE是矩形，CH=PF=CD，然后由勾股定理得：BP=BF，PF=BP，即可求得答案；
（3）據(jù)題意可得CP是線段BE的垂直平分線，即可得CE=CB，PE=PB，則可求得∠BCP=∠ECP=∠ACB=45°，然后利用勾股定理，借助于方程求解即可BC=3，AC=2BC=6，AB=3，AP=2，CD=4，DE=1，EA=3，然后過點(diǎn)D作AB的平行線分別交EP于點(diǎn)Q，交CP于點(diǎn)R，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
解答：解：（1）CD=PB．
理由：過點(diǎn)P分別作PH⊥AC于點(diǎn)H，PF⊥BC于點(diǎn)F，
∴∠PHC=∠PFC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴CH=PF，
∵PD=PC，
∴CH=CD，
在Rt△PBF中，tanB=1，
∴PF=BF，
∴PF=PB•sin45°=PB，
∴CD=2CH=2PF=2×PB=PB；


（2）證明：過點(diǎn)P分別作PH⊥AC于點(diǎn)H，PF⊥BC于點(diǎn)F，
∴∠PHC=∠PFC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴CH=PF，
∵PD=PC，
∴CH=CD，
在Rt△PBF中，tanB=2，
即=2，
∴PF=2BF，
由勾股定理得：BP=BF，PF=BP，
∴CH=BP，CD=BP，
在Rt△ABC中，tanB=2，
同理可得：AC=2BC，
∵AC=AD+CD，
∴2BC=AD+BP；

（3）連接BE，
∵點(diǎn)B關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)為E，
∴CP是線段BE的垂直平分線，
∴CE=CB，PE=PB，
∴∠BCP=∠ECP=∠ACB=45°，
過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，
設(shè)PB=a，
由（2）得：2BC=AD+BP，
則BC=1+a，
在Rt△CPF中，∠FCP=45°，PF=CF=a，
而BF=BP=a，
由CF+BF=BC得，a+a=1+a，
解得：a=，
即BP=，
∴BC=3，AC=2BC=6，AB=3，AP=2，CD=4，DE=1，EA=3，
∴BD==5，
過點(diǎn)D作AB的平行線分別交EP于點(diǎn)Q，交CP于點(diǎn)R，
由△EDQ∽△EAP，得ED：EA=DQ：AP=1：3，得DQ=，
由△QDM∽△PBM，得DM：BM=QD：PB=2：3，得DM=BD=2，
由△CDR∽△CAP，得DR：AP=CD：CA=4：6，得DR=，
由△NDR∽△NBP，得DN：BN=DR：PB=：=，得DN=BD=，
∴NM=DN-DM=-2=．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度很大，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．