Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，
①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求得AF的長；
（2）①分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；
②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足為O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形，
②設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AF=5cm．

（2）①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF，Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形．
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=

4

3

，
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=

4

3

秒．

②由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上．
分三種情況：
i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；
ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
iii）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．
綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12（ab≠0）．

點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，注意分類思想的應(yīng)用．