Question

如圖已知拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關(guān)于y軸對稱，并與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，試猜想出一般形式y(tǒng)=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式（不要求證明）；
（2）若AB中點(diǎn)是C，求sin∠CMB；
（3）如果一次函數(shù)y=kx+b過點(diǎn)M，且于y=mx²+nx+p相交于另一點(diǎn)N（i，j），如果i≠j，且i²-i+z=0和j²-j+z=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關(guān)于y軸對稱，知關(guān)于y軸對稱x變?yōu)?x，y軸值不變，所以易得y=x²+6（-x）+5，即對稱后的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，關(guān)于y軸對稱只要把x變?yōu)?x就可以了；
（2）作輔助線過0作OE⊥MB，把∠CMB轉(zhuǎn)化到直角三角形中計(jì)算，就行了；
（3）根據(jù)已知關(guān)系解方程組得b值，最后待定系數(shù)求出k的值．

解答：解：（1）拋物線的解析式是y=x²-6x+5，y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為：y=ax²-bx+c．

（2）當(dāng)y=0時x²-6x+5=0x₁=1x₂=5所以A（1，0）B（5，0）C是AB的中點(diǎn)所以C（3，0）又因?yàn)镺B=OM=5?△OMB是等腰△過0作OE⊥MB?OE∥CD因?yàn)椤螮OB=45度，所以∠DCB=45度?CD=

2

Rt△OMC中OM=5，OC=3所以MC=

52+32

=

34

，
∴sin∠CMB=

CD

MC

=

2

34

=

17

17

．

（3）

i2-i+z=0 j2-j+z=0

，即

i=j(舍) j=1-i

，
又因?yàn)镹在y=kx+b上
又∵j=ki+bM在y=kx+b上，
∴b=5，
∴j=ki+5?1-i=ki+5?k=-1-

4

i

，
又∵N在y=x²-6x+5上，
所以

j=i2-6i+5 j=1-i

，
即

i1=1 i2=4

，即

k1=-5 k2=-2

．

點(diǎn)評：此題考查函數(shù)圖象對稱問題和函數(shù)性質(zhì)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把角放到直角三角形里解，點(diǎn)在函數(shù)上用待定系數(shù)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出k值，方法簡單，過程較復(fù)雜．