Question

如圖，一次函數(shù)y₁=kx+b與反比例函數(shù)y₂=

m

x

交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，tan∠OCB=

2

3

，已知點(diǎn)D（-6，0），BD=BO=5．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y₁＞y₂時(shí)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸，于點(diǎn)E，在Rt△BOE中，求出BE，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，在Rt△BCE中，根據(jù)tan∠OCB可求出CE，繼而得出OC，及點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出兩解析式．
（2）聯(lián)立解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合圖形即可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸，
∵BD=BO，
∴DE=OE=

1

2

OD=3，
在Rt△BOE中，BE=

BO2-OE2

=4，
故可得B的坐標(biāo)為（-3，-4），
在Rt△BCE中，tan∠OCB=

BE

CE

=

2

3

，則可求得：CE=6，OC=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∵y₁=kx+b，過點(diǎn)B、C，則

-3k+b=-4 3k+b=0

，
解得：

k= 2 3 b=-2

，
∴y₁=

2

3

x-2，
∵y₂=

m

x

過點(diǎn)B，
∴m=12，
∴y₂=

12

x

．
（2）

y= 2 3 x-2 y= 12 x

，
解得：

x1=-3 y1=-4

，

x2=6 y2=2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，2），
結(jié)合圖形可得，當(dāng)-3＜x＜0或x＞-6時(shí)，y₁＞y₂．

點(diǎn)評：本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，注意各知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通．