Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)M是邊AC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），點(diǎn)N在邊CB的延長線上，且AM=BN，連接MN交邊AB于點(diǎn)P．
（1）求證：MP=NP；
（2）若設(shè)AM=x，BP=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)△BPN是等腰三角形時，求AM的長．

Answer 1

（1）證明：過點(diǎn)M作MD∥BC交AB于點(diǎn)D，
∵M(jìn)D∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵M(jìn)D∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中
，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴．
∵M(jìn)D∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴，
∴所求的函數(shù)解析式為，
定義域?yàn)?＜x＜4．
答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，它的定義域是0＜x＜4．

（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴當(dāng)△BPN是等腰三角形時，只有BP=BN，即x=y．
∴，
解得，
∴當(dāng)△BPN是等腰三角形時，AM的長為．
答：AM的長為．
分析：（1）過點(diǎn)M作MD∥BC交AB于點(diǎn)D，求出DM=BN，證△MDP≌△NBP即可；
（2）求出AB，根據(jù)△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程即可；
（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．
點(diǎn)評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．