Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²-2x+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求四邊形ABPC的面積；
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將B（3，0），C（0，-3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²-2x+c，求出解析式即可；
（2）將四邊形ABPC的面積，面積分割為S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB求出三個(gè)三角形的面積即可得出；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出y=-，x的值，從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）將B（3，0），C（0，-3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²-2x+c得：

解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，連接AC，PC，PB，PO，做PM⊥AB，PN⊥OC，
∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3；
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4），即PN=1，PM=4，還可得出OB=3，OC=3，AO=1，
∴四邊形ABPC的面積=S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB
=×AO×OC+×PN×OC+PM×OB，
=×1×3+×1×3+×4×3，
=9；

（3）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
PP′交CO于M，若使四邊形POP′C是菱形，
則有PC=PO，連接PP′，則PM⊥CO于M，
∴OM=MC=，
∴y=-．
∴x²-2x-3=-，
解得：x₁=，x₂=（不合題意舍去），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，-）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及分割四邊形求面積，以及菱形的性質(zhì)，題目是中考中比較典型問題．