Question

已知：如圖，中，，以為直徑的⊙O交于點(diǎn)，

于點(diǎn)．

（1）求證：是⊙O的切線；

（2）若，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）由OB=OP可得∠B=∠OPB，由可得∠B=∠C，即可證得OP∥AC，再結(jié)合即可證得結(jié)論；

(2)連接AP，根據(jù)直徑所對(duì)是圓周角是直角可得AP⊥BC，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得BP=CP，最后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求得結(jié)果。

（1）∵OB=OP

∴∠B=∠OPB 

∵

∴∠B=∠C 

∴∠C=∠OPB

∴OP∥AC 

∴∠OPD=∠CDP=90°

∵OP是半徑

∴是⊙O的切線；

(2)連接AP

∵AB是直徑

∴AP⊥BC

∵

∴BP=CP，∠B=∠C

∵∠CAB=120°

∴∠B=∠C=30°

∴在Rt△ABP中，

在Rt△ABP中，

∴.

考點(diǎn)：本題考查的是切線的判定及性質(zhì)，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟記要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．