Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD中，∠A+∠DCB=180°，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后，分別交于P、Q兩點(diǎn)，∠APD、∠AQB的平分線交于M，求證：PM⊥QM．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

試題分析：連接PQ，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠QCP=180°﹣∠1﹣∠2，∠A=180°﹣∠AQP﹣∠APQ=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠AQB﹣∠APD，再根據(jù)∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M可知∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，再由三角形外角的性質(zhì)可得出∠QMP=（∠BCD+∠A），進(jìn)而得出結(jié)論．

證明：連接PQ，

∵∠QCP=180°﹣∠1﹣∠2，

∠A=180°﹣∠AQP﹣∠APQ=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠AQB﹣∠APD，

又∵∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M，

∴∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，

∴∠QCP+∠A=（180°﹣∠1﹣∠2）+（180°﹣∠1﹣∠2﹣2∠3﹣2∠4）

=360°﹣2∠1﹣2∠2﹣2∠3﹣2∠4，

∴（∠QCP+∠A）=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4，

又∵∠BCD=∠QCP，

∴（∠BCD+∠A）=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4，

又∵∠QMP=180°﹣∠MQP﹣∠MPQ=180°﹣∠1﹣∠3﹣∠2﹣∠4，

∴∠QMP=（∠BCD+∠A）=×180°=90°，即PM⊥QM．