Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+2bx+c（b、c為常數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)b=1，c=﹣3時(shí)，求二次函數(shù)在﹣2≤x≤2上的最小值；

（Ⅱ）當(dāng)c=3時(shí)，求二次函數(shù)在0≤x≤4上的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)c=4b2時(shí)，若在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）﹣4（Ⅱ）①3，②﹣b2+3；③8b+19（Ⅲ）①y=x2+x+7，②b=﹣（舍）或b=（舍）③b=或b=﹣2，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）根據(jù)當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，得到x2+bx+5=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)c=b2時(shí)，寫(xiě)出解析式，分三種情況減小討論即可．

解：（Ⅰ）當(dāng)b=1，c=﹣3時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴x=﹣1在﹣2≤x≤2的范圍內(nèi)，此時(shí)函數(shù)取得最小值為﹣4，

（Ⅱ）y=x2+2bx+3，的對(duì)稱軸為x=﹣b，

①若﹣b＜0，即b＞0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為3，

②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0時(shí)，當(dāng)x=﹣b時(shí)，y有最小值﹣b2+3；

③若﹣b＞4，即b＜﹣4時(shí)，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y有最小值為8b+19，

（Ⅲ）當(dāng)c=4b2時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+2bx+4b2，它的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=﹣b的拋物線，

①若﹣b＜2b，即b＞0時(shí)，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而增大，

∴當(dāng)x=2b時(shí)，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2為最小值，

∴12b2=21，∴b=或b=﹣（舍）∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7，

②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，

當(dāng)x=﹣b時(shí)，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值為3b2，

∴3b2=21∴b=﹣（舍）或b=（舍），

③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而減小，

∴當(dāng)x=2b+3時(shí)，代入二次函數(shù)的解析式為y=x2+2bx+4b2中，得y最小值為12b2+18b+9，

∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=（舍），∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣4x+16．

綜上所述，b=或b=﹣2，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

“點(diǎn)睛”本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=﹣時(shí)，y=；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=﹣時(shí)，y=；確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．