Question

平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-1，4），B（4，9），點(diǎn)P（n，0）為x軸上一點(diǎn)，若∠APB=45°，則n=________．

Answer 1

1或7
分析：作BC⊥x軸，且BC=10，連接AC，作△ABC的外接圓Q，連接AQ，交x軸于P₁、P₂，求出AQ∥x軸和Q的坐標(biāo)，求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BAC=90°，BC為直徑，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出∠C=45°，根據(jù)圓周角定理求出P₁和P₂都符合已知條件，連接QP₁，QP₂，在Rt△OP₁D中，由勾股定理求出DP₁=3，同理求出DP₂=3，求出OP₁和OP₂即可．
解答：解：作BC⊥x軸，且BC=10，連接AC，作△ABC的外接圓Q，連接AQ，交x軸于P₁、P₂，
∵B（4，9），A（-1，4），BC=10，
則Q的坐標(biāo)是（4，4），
即AQ∥x軸，
即∠AQC=90°，
在Rt△AQC中，AQ=5，CQ=5，由勾股定理：AC=5，
∵AB²+AC²=（5）²+（5）²=100，BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∴BC是⊙Q的直徑，∠C=∠ABC=45°，
由圓周角定理得：∠AP₁B=∠ACB=45°，∠AP₂B=∠ACB=45°，
即此時(shí)P₁和P₂都符合已知條件，
連接QP₁，QP₂，
在Rt△OP₁D中，OD=9-5=4，OP₁=5，由勾股定理得：DP₁=3，
同理DP₂=3，
即OP₁=4-3=1，OP₂=4+3=7，
∴n=1或7．
故答案為：1或7．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理，圓周角定理，等腰直角三角形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的外接圓等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．