Question

已知拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）有如下兩個特點：①無論實數(shù)a怎樣變化，其頂點都在某一條直線l上；②若把頂點的橫坐標減少，縱坐標增大分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）上。
（1）求出當實數(shù)a變化時，拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）的頂點所在直線l的解析式；
（2）請找出在直線l上但不是該拋物線頂點的所有點，并說明理由；
（3）你能根據特點②的啟示，對一般二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）提出一個猜想嗎？請用數(shù)學語言把你的猜想表達出來，并給予證明。

Answer 1

解：（1）取a=1，得拋物線，
其頂點為，
取a=-1，得拋物線，
其頂點為，
由題意有在直線l上，設直線l的解析式為，
則解得：
∴直線l的解析式為；
（2）∵拋物線的頂點P坐標為，
顯然P在直線上，
又能取到除0以外的所有實數(shù)，
∴在上僅有一點（0，3）不是該拋物線的頂點；
（3）猜想：對于拋物線，將其頂點的橫坐標減少，縱坐標增加分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線上，
證明如下：
∵拋物線的頂點坐標為（），
∴點A的坐標為，
點B的坐標為，
∵時，
∴點A在拋物線，
同理有B也在拋物線上，故結論成立。