平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,4),B(4,9),點P(n,0)為x軸上一點,若∠APB=45°,則n= .
【答案】
分析:作BC⊥x軸,且BC=10,連接AC,作△ABC的外接圓Q,連接AQ,交x軸于P
1、P
2,求出AQ∥x軸和Q的坐標(biāo),求出AC,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BAC=90°,BC為直徑,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出∠C=45°,根據(jù)圓周角定理求出P
1和P
2都符合已知條件,連接QP
1,QP
2,在Rt△OP
1D中,由勾股定理求出DP
1=3,同理求出DP
2=3,求出OP
1和OP
2即可.
解答:解:作BC⊥x軸,且BC=10,連接AC,作△ABC的外接圓Q,連接AQ,交x軸于P
1、P
2,
∵B(4,9),A(-1,4),BC=10,
則Q的坐標(biāo)是(4,4),
即AQ∥x軸,
即∠AQC=90°,
在Rt△AQC中,AQ=5,CQ=5,由勾股定理:AC=5
,
∵AB
2+AC
2=(5
)
2+(5
)
2=100,BC
2=100,
∴AB
2+AC
2=BC
2,
∴∠BAC=90°,
∴BC是⊙Q的直徑,∠C=∠ABC=45°,
由圓周角定理得:∠AP
1B=∠ACB=45°,∠AP
2B=∠ACB=45°,
即此時P
1和P
2都符合已知條件,
連接QP
1,QP
2,
在Rt△OP
1D中,OD=9-5=4,OP
1=5,由勾股定理得:DP
1=3,
同理DP
2=3,
即OP
1=4-3=1,OP
2=4+3=7,
∴n=1或7.
故答案為:1或7.
點評:本題考查了勾股定理的逆定理,圓周角定理,等腰直角三角形性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的外接圓等知識點,主要考查學(xué)生綜合運用進行推理和計算的能力,本題綜合性比較強,難度偏大.