勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成,它可以驗(yàn)證勾股定理.在上圖的勾股圖中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=8.作△PQR使得∠R=90°,點(diǎn)H在邊QR上,點(diǎn)D,E在邊PR上,點(diǎn)G,F(xiàn)在邊PQ上,那么△PQR的周長(zhǎng)等于
54+26
3
54+26
3
分析:在直角△ABC中,根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC,進(jìn)而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長(zhǎng),在直角△QRP中運(yùn)用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長(zhǎng),就可求出△PQR的周長(zhǎng).
解答:解:延長(zhǎng)BA交QR于點(diǎn)M,連接AR,AP.
∵AC=GC,BC=FC,∠ACB=∠GCF,
∴△ABC≌△GFC,
∴∠CGF=∠BAC=30°,
∴∠HGQ=60°,
∵∠HAC=∠BAD=90°,
∴∠BAC+∠DAH=180°,
又∵AD∥QR,
∴∠RHA+∠DAH=180°,
∴∠RHA=∠BAC=30°,
∴∠QHG=60°,
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°,
∴△QHG是等邊三角形.
AC=AB•cos30°=8×
3
2
=4
3

則QH=HA=HG=AC=4
3

在直角△HMA中,HM=AH•sin60°=4
3
×
3
2
=6.AM=HA•cos60°=2
3

在直角△AMR中,MR=AD=AB=8.
∴QR=QH+HM+MR=4
3
+6+8=14+4
3

∴QP=2QR=28+8
3

PR=QR•
3
=14
3
+12.
∴△PQR的周長(zhǎng)等于RP+QP+QR=54+26
3

故答案為:54+26
3
點(diǎn)評(píng):考查了勾股定理和含30度角的直角三角形,正確運(yùn)用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成(圖1:△ABC中,∠BAC=90°).
請(qǐng)解答:
(1)如圖2,若以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形,則它們的面積S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是
 

(2)如圖3,若以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓,則它們的面積S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是
 
,請(qǐng)說(shuō)明理由.
精英家教網(wǎng)
(3)如圖4,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分別以AB、CD、AD為邊向精英家教網(wǎng)梯形外作正方形,其面積分別為S1、S2、S3,則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系式為
 
,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成,它可以驗(yàn)證勾股定理.在右圖的勾股圖中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR使得∠R=90°,點(diǎn)H在邊QR上,點(diǎn)D,E在邊PR上,點(diǎn)G,F(xiàn)在邊PQ上,那么△PQR的周長(zhǎng)等于
 

精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣,如圖所示,AB為Rt△ABC的斜邊,四邊形ABGM,APQC,BCDE均為正方形,四邊形RFHN是長(zhǎng)方形,若BC=3,AC=4,則圖中空白部分的面積是
60
60

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年河北省中考模擬試卷數(shù)學(xué)卷 題型:填空題

勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成,它可以驗(yàn)證勾股定理.在右圖的勾股圖中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB= 4.作△PQR使得∠R=90°,點(diǎn)H在邊QR上,點(diǎn)D,E在邊PR上,點(diǎn)G,F(xiàn)在邊_PQ上,那么APQR的周長(zhǎng)等于   ▲  

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案