Question

如圖，在半徑為1的⊙O中，AB為直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧CB的三等分點(diǎn)，且弧DB的長(zhǎng)等于弧CD長(zhǎng)的兩倍，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O的切線(xiàn)CE于點(diǎn)E（C為切點(diǎn)），則AE的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：連接OC，過(guò)A作AM⊥EC于M，由CE是圓O的切線(xiàn)，推出AM∥OC，由C為弧AB的中點(diǎn)，得到AB=AC，進(jìn)一步推出MA⊥AB，得到矩形AMCO，推出AM=1，由D為弧CB的三等分點(diǎn)，求出∠MAE和∠AEM的度數(shù)，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．

解答：解：連接OC，過(guò)A作AM⊥EC于M，
∵CE是圓O的切線(xiàn)，
∴OC⊥CE，
∵AM⊥EC，
∴AM∥OC，
∵C為弧AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠B=45°，AC=BC，
∵OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴MA⊥AB，
∴四邊形AMCO是矩形，
∴AM=OC=1，
∵D為弧CB的三等分點(diǎn)，
∴∠CAD=

1

3

×45°=15°，
∵M(jìn)A⊥AB，OA為半徑，
∴AM為圓O的切線(xiàn)，
∴∠MAC=∠B=45°，
∴∠MAD=15°+45°=60°，
∴∠AEM=180°-60°-90°=30°，
∴AE=2AM=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，矩形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性比較強(qiáng)．