【題目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度,沿AB向點(diǎn)B移動(dòng);同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),仍以每秒1個(gè)單位的速度,沿BC向點(diǎn)C移動(dòng),連接QP,QD,PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒0<x3,解答下列問(wèn)題:

1設(shè)QPD的面積為S,用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S;當(dāng)x為何值時(shí),S有最大值?并求出最小值;

2是否存在x的值,使得QPDP?試說(shuō)明理由.

【答案】1S=x22+4;x=2,最小值為4;2存在,理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:1可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,從而可表示出SADQ、SBPQ、SPCD的面積,則可表示出S,再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值,并能求得其最小值;2用x表示出BQ、BP、PC,當(dāng)QPDP時(shí),可證明BPQ∽△CDP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程,可求得x的值.

試題解析:1四邊形ABCD為矩形, BC=AD=4,CD=AB=3, 當(dāng)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí),則AQ=x,BP=x,

BQ=ABAQ=3x,CP=BCBP=4x,

SADQ=ADAQ=×4x=2x,SBPQ=BQBP=3xx=xx2,SPCD=PCCD=4x3=6x,

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12,

S=S矩形ABCDSADQSBPQSPCD=122xxx26x=x22x+6=x22+4,

即S=x22+4, S為開(kāi)口向上的二次函數(shù),且對(duì)稱軸為x=2,

當(dāng)0<x<2時(shí),S隨x的增大而減小,當(dāng)2<x3時(shí),S隨x的增大而增大,

又當(dāng)x=0時(shí),S=5,當(dāng)S=3時(shí),S=,但x的范圍內(nèi)取不到x=0,

S不存在最大值,當(dāng)x=2時(shí),S有最小值,最小值為4;

2存在,理由如下:

1可知BQ=3x,BP=x,CP=4x, 當(dāng)QPDP時(shí),則BPQ+DPC=DPC+PDC,

∴∠PQ=PDC,且B=C, ∴△BPQ∽△PCD,

=,即=,解得x=舍去或x=,

當(dāng)x=時(shí)QPDP.

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1)將矩形OCDE沿AB折疊,點(diǎn)O恰好落在邊CD上的點(diǎn)F處.

點(diǎn)B的坐標(biāo)為( 、 ),BK的長(zhǎng)是 ,CK的長(zhǎng)是 ;

求點(diǎn)F的坐標(biāo);

請(qǐng)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)將矩形OCDE沿著經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在邊CD上的點(diǎn)G處,連接OG,折痕與OG相交于點(diǎn)H,點(diǎn)M是線段EH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)H重合),連接MG,MO,過(guò)點(diǎn)GGP⊥OM于點(diǎn)P,交EH于點(diǎn)N,連接ON,點(diǎn)M從點(diǎn)E開(kāi)始沿線段EH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng),至與點(diǎn)N重合時(shí)停止,△MOG△NOG的面積分別表示為S1S2,在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,S1S2(即S1S2的積)的值是否發(fā)生變化?若變化,請(qǐng)直接寫出變化范圍;若不變,請(qǐng)直接寫出這個(gè)值.

溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補(bǔ)充圖形,以便作答.

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