Question

（2009•天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：AB=AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB=90°，再根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等即可證明；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，可以證明△ABC是等邊三角形，即可求得AC的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可計算DE的長．
解答：（1）證明：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）解：∵∠BAC=60°，
由（1）知AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形．
在Rt△BAD中，∠BAD=30°，AB=8，
∴BD=4，即DC=4．
又∵DE⊥AC，
∴DE=DC•sinC=4•sin60°=4×=2．
點評：本題考查了圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定．