Question

（2012•棲霞市二模）如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a，則①DC′平分∠BDE；②BC長(zhǎng)為（

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+2）a；③△B C′D是等腰三角形；④△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．則上述命題中正確是

②③④

（填序號(hào)）；

Answer 1

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=

2

2

BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DBE=

1

2

∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=

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a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，則∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可計(jì)算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判斷DC′不平分∠BDE；易得AC=AD+DC=a+

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a，利用BC=

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AC可得到BC長(zhǎng)為（

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+2）a；由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；計(jì)算△CED的周長(zhǎng)為DE+EC+DC=a+a+

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a=（

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+2）a，則有△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．

解答：解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC=

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2

BC，∠ABC=∠C=45°，
∵Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，
∴∠DBE=

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2

∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，DC=

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a，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，
∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，
∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①錯(cuò)誤；
∵AC=AD+DC=a+

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a，
∴BC=

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AC=

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（a+

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a）=（

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+2）a，所以②正確；
∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，
∴△B C′D是等腰三角形，所以③正確；
∵△CED的周長(zhǎng)=DE+EC+DC=a+a+

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a=（

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+2）a，
∴△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)，所以④正確．
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．