Question

如圖，△A₁B₁C₁是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，A₂為等邊△A₁B₁C₁的中心，連接
A₂B₁并延長(zhǎng)到點(diǎn)B₂，使A₂B₁=B₁B₂，以A₂B₂為邊作等邊△A₂B₂C₂，A₃為等邊
△A₂B₂C₂的中心，連接A₃B₂并延長(zhǎng)到點(diǎn)B₃，使A₃B₂=B₂B₃，以A₃B₃為邊作等邊△A₃B₃C₃，依次作下去得到等邊△A_nB_nC_n，則等邊△A₅B₅C₅的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，根據(jù)等邊三角形的中心的性質(zhì)得∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=A₁B₁=，利用余弦的定義得cos∠A₂B₁D₁=cos30°==，可計(jì)算出A₂B₁=，由A₂B₁=B₁B₂得到A₂B₂=，用同樣的方法可計(jì)算出A₃B₃=（）²，于是A₄B₄=（）³，A₅B₅=（）⁴．
解答：解：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，如圖，
∵△A₁B₁C₁是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，A₂為等邊△A₁B₁C₁的中心，
∴∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=A₁B₁=，
∴cos∠A₂B₁D₁=cos30°==，
∴A₂B₁=，
∵A₂B₁=B₁B₂，
∴A₂B₂=，
同理可得∠A₃B₂D₂=30°，B₂D₂=A₂B₂=×=，
∴cos∠A₃B₂D₂=cos30°==，
∴A₃B₂=，
∵A₃B₂=B₂B₃，
∴A₃B₃==（）²=（）²，
同理可得A₄B₄=（）³，
A₅B₅=（）⁴．=
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．