Question

如圖，P是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點，PA，PB，PC，PD將平行四邊形ABCD分成4個三角形，它們的面積分別為a，ar，ar²，ar³（a＞0，r＞0），試確定點P的位置，并說明理由．

Answer 1

解：由題意可知S_△APD+S_△BPC=S_△APB+S_△DPC=S_ABCD．
因為r＞0，下面分三種情況討論．
（1）若a+ar=ar²+ar³，得r=1，
此時，S_△APD=S_△BPC=S_△APB=S_△DPC．則點P必為AC與BD之交點；
（2）若a+ar²=ar+ar³，也可得r=1，
此時，S_△APD+S_△BPC=S_△APB+S_△DPC．則點P必為AC與BD之交點；
（3）若a+ar³=ar+ar²，由此可得：a（1+r）（1-r）²=0，
因為a＞0，r＞0，所以r=1，結(jié)論仍舊同（1）．
綜上所述，點P必為對角線AC與BD的交點．
分析：由平行四邊形的性質(zhì)，再根據(jù)面積相等建立等效平衡，因為r＞0，所以應分三種情況進行討論．
點評：熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，能夠求解一些簡單的問題．