Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線與x 軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）（4分）①直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．

（2）（4分）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）（4分）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第24題圖

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Answer 1

(1)   ①B(1,0)             

(2)  

         ②y=           當(dāng)x=0時(shí)，y＝2,  當(dāng)y=0時(shí)，x=－4

         ∴ C(0,2),A(－4,0)         ∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)A(－4,0), B(1,0)

         ∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x－1)

         又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C(0,2)      ∴2=－4a         ∴a=  

        ∴y=x²x+2            

       (2)設(shè)P（m,m²m+2).

         過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q

         ∴Q(m,m+2)

         ∴PQ=m²m+2－(m+2)

              =m²－2m

         ∵ =PQ4

                   =2PQ=－m²－4m=－(m+2)²+4

         ∴當(dāng)m=－2時(shí)，ΔPAC的面積有最大值是4

           此時(shí)P（－2，3）                   

      

（3）在RtΔAOC中，tan∠CAO=       在RtΔBOC中，tan∠BCO=

     ∴∠CAO=∠BCO           ∵∠BCO+∠OBC=90°

     ∴∠CAO+∠OBC=90°      ∴∠ACB=90°

     ∴ ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO

        ① 當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，ΔMAN∽ΔBAC 

        ② 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)M(－3,2) 時(shí)，ΔMAN∽ΔABC   

        ③ 當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)M（n,n²n+2），則N(n,0)

          ∴ MN=n²+n－2 ,  AN=n+4

          當(dāng)時(shí)，MN=AN       即n²+n－2=(n+4)

           

          n²+2n－8=0      ∴ n₁= －4(舍), n₂=2

          ∴M（2，－3）    

          當(dāng)時(shí)，MN=2AN           n²+n－2=2(n+4)

           

          n²－n－20=0     ∴ n₁= －4(舍), n₂=5

          ∴M（5，－18）   

         

 綜上所述：存在M₁（0，2）,M₂(－3,2), M₃（2，－3）,M₄（5，－18）, 使得以點(diǎn)

           A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.