Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

 

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出△PCD并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：    圓周角定理；全等三角形的性質(zhì)；垂徑定理；相似三角形的判定。

專題：    幾何綜合題。

分析：    （1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；

（2）由△PCD∽△ABC，可知當(dāng)PC=AB時(shí)，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得 = ，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：    （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵PD⊥CD，

∴∠D=90°，

∴∠D=∠ACB，

∵∠A與∠P是 對(duì)的圓周角，

∴∠A=∠P，

∴△PCD∽△ABC；

（2）解：當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，

理由：∵AB，PC是⊙O的半徑，

∴AB=PC，

∵△PCD∽△ABC，

∴△PCD≌△ABC；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∵△PCD∽△ABC，

∴∠PCD=∠ABC=30°，

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴=，，

∴∠ACP=∠ABC=30°，

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．