Question

【題目】定義：如圖1，拋物線 與 軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上（點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合），如果△ABP的三邊滿足 ，則稱點(diǎn)P為拋物線 的勾股點(diǎn)。

（1）直接寫(xiě)出拋物線 的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知拋物線C： 與 軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1， ）是拋物線C的勾股點(diǎn)，求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線C上，求滿足條件 的點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P）的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】
（1）

解：勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）

（2）

解：拋物線y=ax2+bx（a≠0）過(guò)原點(diǎn)（0，0），即A（0，0），

如圖作PG⊥x軸于點(diǎn)G，連接PA,PB，

∵點(diǎn)P（1，），

∴ AG=1,PG=,

∴PA=2,tan∠PAB=,

∴∠PAB=60°,
∴在Rt△PAB中，AB==4,

∴點(diǎn)B（4，0），

設(shè)y=ax（x-4）,當(dāng)x=1時(shí)，y=,

解得a=-,

∴y=-x（x-4）=-x2+x.

（3）

解：① 當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方，由S△ABQ=S△ABP,易知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，

∴-x2+x=，解得x1=3,x2=1（不合題意，舍去），

∴Q（3，），

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方，由S△ABQ=S△ABP,易知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-，

∴-x2+x=-，解得x1=2+,x2=2-,

∴Q（2+，-）Q（2-，-），

綜上，滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)：Q（3，）Q（2+，-）Q（2-，-）.

【解析】（1）解：y=-x2+1與x軸交于A（-1，0），B（1，0），與y軸交于P（0，1），
∴AB=2，AP=BP=,
∴AP2+BP2=AB2
∴勾股點(diǎn)P（0，1），