Question

（本題12分）如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式；

（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，連接EA，EC，求△ACE面積最大值；

（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A（-1，0），B（3，0），直線AC的函數(shù)表達式為y=-x-1；（2）S△AEC 的最大值為；（3）F1（1，0），F(xiàn)2（-3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4-，0）．

【解析】

試題分析：（1），令y=0，得，解方程可得點AB的橫坐標(biāo)，從而可得A（-1，0），B（3，0），將C點的橫坐標(biāo)為2代入.可得點C的坐標(biāo)，然后設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為，將A（-1，0）, C（2，-3）代入，可得直線AC解析式；（2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），根據(jù)條件可表示出P、E的坐標(biāo)以及線段PE的長，然后根據(jù)三角形的面積公式可表示出△ACE面積，將關(guān)系式配方可解；（3）觀察圖形找出所有可能的情況，利用平行四邊形的性質(zhì)分情況解答.

試題解析：【解析】
（1）令y=0，,解得x=-1或x=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

將C點的橫坐標(biāo)x=2，代入，得：y=-3，∴C（2，-3）；

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為，將A（-1，0）, C（2，-3）代入，

得，解得，∴直線AC的函數(shù)表達式為y=-x-1.

（2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），

則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），

∴PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴S△AEC=，

∴當(dāng)時，S△AEC 的最大值為；----8分

（3）存在4個這樣的點F，分別是：F1（1，0），F(xiàn)2（-3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4-，0）．（每寫對一個得1分）

參考解答如下：

①如圖1，連接C與拋物線和y軸的交點G，那么CG∥x軸，當(dāng)AF=CG=2時，此時四邊形ACGF為平行四邊形，因此F點的坐標(biāo)是（﹣3，0）；

圖1

②如圖2，AF=CG=2，此時四邊形AGCF為平行四邊形，因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；

圖2

③如圖3，

圖3

設(shè)F（x，0）, 當(dāng)四邊形ACFG為平行四邊形時，可求得G（x-3,3）,代入拋物線,得，，因此F點的坐標(biāo)為（4+，0）或（4-，0）.

考點：1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；2.二次函數(shù)的性質(zhì)；3. 平行四邊形的性質(zhì)；4.分類討論思想.