Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，求線段BD的長．

Answer 1

考點：等腰直角三角形

專題：分類討論

分析：分情況討論，①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC；②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC．分別畫圖，并求出BD．

解答：解：①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=1+1=2；
②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD，

連接BD，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=1×

2

2

=

2

2

，
在Rt△BAC中，BC=

2

，
∴BD=

BE2+DE2

=

5

；
③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=ACsin45°=1×

2

2

，
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
又∵在Rt△ABC中，BC=

2

，
∴BD=

BC2+CD2

=

10

2

，
綜上所述：BD的長等于2或

5

或

10

2

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題時注意分類討論，不要漏掉所有可能的情況．