Question

小青在研究梯形ABCD時(shí)發(fā)現(xiàn)，若AB∥CD，∠C+∠D=90°，且E、F是上下底AB、CD的中點(diǎn)，則有AD²+BC²=4EF²（提示：過E作EG∥AD，EH∥BC（如圖1））
（1）小青的結(jié)論對嗎？完成小青的證明．
（2）若四邊形ABCD中只滿足∠C+∠D=90°，且E、F是AB、CD的中點(diǎn)（如圖2），則小青的結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

（1）小青的結(jié)論正確．
證明如下：過點(diǎn)E作EG∥AD，交DF于點(diǎn)G，作EH∥BC，交CF于點(diǎn)H，
∵AB∥CD，
∴四邊形ADGE是平行四邊形，
∴EG=AD，DG=AE，
又EG∥AD，
∴∠EGH=∠D，
同理可得，EH=BC，CH=BE，∠EHG=∠C，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠GEH=180°-（∠EGH+∠EHG）=180°-（∠D+∠C）=180°-90°=90°，
∵E、F上下底AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE=BE，DF=CF，
∵GF=DF-DG=DF-AE，F(xiàn)H=FC-CH=FC-BE，
∴GF=FH，
∴EF是Rt△EGH斜邊上的中線，
∴GH=2EF，
根據(jù)勾股定理，EG²+EH²=GH²，
∴AD²+BC²=2（EF）²=4EF²，
即AD²+BC²=4EF²；

（2）成立．理由如下：
解：過點(diǎn)E作EG∥AD，過點(diǎn)D作DG∥AE，EG與DG相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥BC，過點(diǎn)C作CH∥BE，EH與CH相交于點(diǎn)H，
則四邊形ADGE與四邊形EHCB都是平行四邊形，
∴EG=AD，AE=DG，EH=BC，EB=CH，
∵DG∥AE，CH∥BE，
∴DG∥CH，
連接DH交CD于點(diǎn)F′，
則∠GDF′=∠HCF′，∠DGF′=∠CHF′，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠AEG+∠BEH=∠ADG+∠BCH=∠ADC-∠GDF′+∠BCD+∠HCF′=∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠EGH=180°-（∠AEG+∠BEH）=180°-90°=90°，
∴△EGH是直角三角形，
∵E是上底AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴DG=CH，
在△DF′G和△CF′H中，
，
∴△DF′G≌△CF′H（ASA），
∴DF′=CF′，GF′=HF′，
∵點(diǎn)F是下底CD的中點(diǎn)，
∴DF=FC，
∴點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，
∴GH=2EF，
在Rt△EGH中，EG²+EH²=GH²，
∴AD²+BC²=（2EF）²=4EF²，
即AD²+BC²=4EF²．
分析：（1）過點(diǎn)E作EG∥AD，交DF于點(diǎn)G，作EH∥BC，交CF于點(diǎn)H，可得四邊形ADGE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得EG=AD，DG=AE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EGH=∠D，同理可得，EH=BC，CH=BE，∠EHG=∠C，然后證明△EGH是直角三角形，且GF=FH，再利用勾股定理即可得證；
（2）過點(diǎn)E作EG∥AD，過點(diǎn)D作DG∥AE，EG與DG相交于點(diǎn)G，則四邊形ADGE是平行四邊形，過點(diǎn)E作EH∥BC，過點(diǎn)C作CH∥BE，EH與CH相交于點(diǎn)H，則四邊形EHCB是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得EG=AD，AE=DG，EH=BC，EB=CH，再根據(jù)平行公理可得DG∥CH，連接GH交CD于點(diǎn)F′，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠GDF′=∠HCF′，∠DGF′=∠CHF′，然后結(jié)合平行四邊形的對角相等證明△EGH是直角三角形，利用“角邊角”證明△DF′G和△CF′H全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF′=CF′，GF′=HF′，從而得到點(diǎn)F′、F重合，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得GH=2EF，然后利用勾股定理即可證明．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，通過作輔助線，把AD、BC轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的兩條直角邊是解題的關(guān)鍵，（2）通過作平行四邊形，把AD、BC轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的兩條直角邊不容易想到，也是本題的難點(diǎn)．