Question

如圖1所示，在等腰Rt△ABC中，點M是斜邊AB中點，D是AB邊上一動點，ED⊥CD于點D，EF⊥AB交AB于點F，且CD=ED．
（1）求證：AC=

2

DF；
（2）如圖2所示，若ED⊥CD于點D，且ED=CD，點E在AC的左側(cè)，其它條件不變，連接AE，求證：AE∥BC；
（3）在（2）中，若AD=

3

，則BC-AE=

6

．（直接寫出結(jié)果即可，不書寫解答過程）

Answer 1

分析：（1）連接CM，求出△DCM≌△EDF，推出DF=CM，根據(jù)勾股定理求出即可．
（2）過E作EF⊥AB交BA延長線于F，根據(jù)△DCM≌△EDF，推出EF=DM，DF=CM，CM=AM，求出DF=AM，求出AF=EF，求出∠FAE=∠B即可．
（3）過E作EN∥AB交BC于N，交CM于Q，求出BC-AE=CN，求出四邊形AENB是平行四邊形，四邊形FEQM是矩形，求出AD=CQ=

3

，求出CQ=QN=

3

，在Rt△CQN中，由勾股定理求出CN即可．

解答：（1）證明：
連接CM，
∵△ACB是等腰直角三角形，M為AB中點，
∴AM=CM=BM，CM⊥AB，
∵EF⊥AB，CD⊥DE，
∴∠CMD=∠DFE=∠CDE=90°，
∴∠CDM+∠EDF=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠DCM=∠EDF，
在△DCM和△EDF中

∠CMD=∠DFE ∠DCM=∠EDF CD=DE

∴△DCM≌△EDF（AAS），
∴DF=CM，
∵△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CMA=90°，AM=CM，由勾股定理得：AC=

2

CM，
∴AC=

2

DF．

（2）
證明：過E作EF⊥AB交BA延長線于F，
∵由（1）知：△DCM≌△EDF，
∴EF=DM，DF=CM，CM=AM，
∴DF=AM，
∴DF-AD=AM-AD，
∴AF=DM，
∴AF=EF，
∵∠F=90°，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵∠B=45°，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BC．

（3）解：BC-AE=

6

，
理由是：過E作EN∥AB交BC于N，交CM于Q，如圖3，
∵AE∥BC，
∴四邊形AENB是平行四邊形，
∴AE=BN，
∴BC-AE=CN，
∵EF⊥AB，CM⊥AB，
∴CM∥EF，∠QMF=90°，
∵EQ∥AB，
∴四邊形FEQM是矩形，
∴∠EQM=∠CQM=90°，EF=QM，
∵DM=EF，
∴QM=DM，
∵AM=CM，
∴AD=CQ=

3

，
∵∠ACB=90°，AC=BC，M為AB中點，
∴∠MCB=45°，
∴∠QNC=45°=∠QCN，
∴CQ=QN=

3

，
在Rt△CQN中，由勾股定理得：CN=

( 3 )2+( 3 )2

=

6

，
即BC-AE=

6

，
故答案為：

6

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．有一定的難度．