Question

（2013•宜賓）如圖，拋物線y₁=x²-1交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，將此拋物線向右平移4個(gè)單位得拋物線y₂，兩條拋物線相交于點(diǎn)C．
（1）請直接寫出拋物線y₂的解析式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在第四象限內(nèi)拋物線y₂上，是否存在點(diǎn)Q，使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）寫出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出∠OBA=45°，再聯(lián)立兩拋物線解析式求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)∠CPA=∠OBA分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊和右邊兩種情況求解；
（3）先求出直線OC的解析式為y=

3

2

x，設(shè)與OC平行的直線y=

3

2

x+b，與拋物線y₂聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)與OC的距離最大時(shí)方程有且只有一個(gè)根，然后利用根的判別式△=0列式求出b的值，從而得到直線的解析式，再求出與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，得到OE的長度，再過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，然后根據(jù)∠COD的正弦值求解即可得到h的值．

解答：解：（1）拋物線y₁=x²-1向右平移4個(gè)單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1），
所以，拋物線y₂的解析式為y₂=（x-4）²-1；

（2）x=0時(shí)，y=-1，
y=0時(shí)，x²-1=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以，點(diǎn)A（1，0），B（0，-1），
∴∠OBA=45°，
聯(lián)立

y=x2-1 y=(x-4)2-1

，
解得

x=2 y=3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，坐標(biāo)為（-1，0），
在點(diǎn)A的右邊時(shí)，坐標(biāo)為（5，0），
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）或（5，0）；

（3）存在．
∵點(diǎn)C（2，3），
∴直線OC的解析式為y=

3

2

x，
設(shè)與OC平行的直線y=

3

2

x+b，
聯(lián)立

y= 3 2 x+b y=(x-4)2-1

，
消掉y得，2x²-19x+30-2b=0，
當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，
此時(shí)x₁=x₂=

1

2

×（-

-19

2

）=

19

4

，
此時(shí)y=（

19

4

-4）²-1=-

7

16

，
∴存在第四象限的點(diǎn)Q（

19

4

，-

7

16

），使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，
此時(shí)△=19²-4×2×（30-2b）=0，
解得b=-

121

16

，
∴過點(diǎn)Q與OC平行的直線解析式為y=

3

2

x-

121

16

，
令y=0，則

3

2

x-

121

16

=0，解得x=

121

24

，
設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，則E（

121

24

，0），
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，根據(jù)勾股定理，OC=

22+32

=

13

，
則sin∠COD=

h

CO

=

3

13

，
解得h_最大=

3

13

×

121

24

=

121 13

104

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了利用平移變換確定二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，（3）判斷出與OC平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)OC邊上的高h(yuǎn)最大是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．