Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形ABCD中，點(diǎn)O、E分別是AD、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是以點(diǎn)O為圓心，OE長(zhǎng)為半徑的圓弧與DC的交點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP并延長(zhǎng)交直線BC于K．
（1）當(dāng)P從E點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，K運(yùn)動(dòng)了多少單位長(zhǎng)度？
（2）過點(diǎn)P作所在圓的切線，當(dāng)該切線不與BC平行時(shí)，設(shè)它與射線AB、直線BC分別交于M、G，
①當(dāng)K與B重合時(shí)，BG：BM=？
②在P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在BG：BM=3的情況？若存在，求出BK的值；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）連接OE、OF，并延長(zhǎng)OE、OF分別交直線BC于N、Q，
當(dāng)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)K從點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)Q；
∵O、E分別為AD、AB的中點(diǎn)，
∴OA=AE=BE=1，
又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，
∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，
同理可得CQ=1；
故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即點(diǎn)K運(yùn)動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度．

（2）①當(dāng)K、B重合時(shí)，
∵M(jìn)G與弧EF所在的圓相切，且切點(diǎn)為P，
∴OB⊥MG，
∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，
∴∠OBA=∠BGM，
又∵∠MBG=∠OAB=90°，
∴△OAB∽△MBG，得：
，由于BA=2OA，則BG：BM=2．

②存在BG：BM=3的情況，理由如下：
假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，使得BG：BM=3，過K作KH⊥OA于H，
則四邊形ABKH為矩形，有KH=AB=2；
∵M(jìn)G與弧EF相切于點(diǎn)P，
∴OK⊥MG，且垂足為P，
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠G+∠2=90°，則∠1=∠G；
∵∠OHK=∠GBM=90°，
∴△OHK∽△MGB，
∴，
∴OH=，AH=BK=；
∴存在符合題意的K點(diǎn)，使得BG：BM=3；
同理可得：在線段BC、CD以及CB的延長(zhǎng)線上，存在這樣的點(diǎn)K′、M″、G′，
使得CK′=，CG′：CM″=3；
連接G′M″交AB于M′，則BG′：BM′=CG′：CM″=3；
此時(shí)BK′=BC-K′C=2-=，即BK的值為或．
分析：（1）當(dāng)K是射線OE與直線BC的交點(diǎn)時(shí)，K運(yùn)動(dòng)到最左端，當(dāng)K是射線OF與直線BC的交點(diǎn)時(shí)，K運(yùn)動(dòng)到最右端；所以可連接OE、OF，并延長(zhǎng)其交直線BC于N、Q，可通過證△OAE≌△NBE，來求得BN的長(zhǎng)，同理可求出CQ的長(zhǎng)，那么K點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離NQ的長(zhǎng)即可求出．
（2）①當(dāng)K、B重合時(shí)，若MG與⊙O相切于P點(diǎn)，那么MG⊥BO于P，則可證得△OAB∽△MBG，那么BM：BG=OA：OB，OA、OB的長(zhǎng)易求得，由此可得出BM：BG的值．
②此題的解題思路同①，可過K作AD的垂線，設(shè)垂足為H，當(dāng)M在線段AB上時(shí)，可通過證△MBG∽△OHK，得到BM：BG=OH：HK，HK的長(zhǎng)即為正方形的邊長(zhǎng)2，若BM：BG=3，那么OH=，所以存在符合條件的K點(diǎn)，此時(shí)BK=OA-OH=；同理可求得在線段BC、CD以及CB的延長(zhǎng)線上都存在符合條件的K、M、G點(diǎn)，解法同上．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，能夠通過相似三角形將所求比例線段和已知線段發(fā)生聯(lián)系，是解答此題的關(guān)鍵．