Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x，BE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：連接DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CPD=∠C′PD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BPE=∠C′PE，然后證明∠DPE=90°，從而得到△DPE是直角三角形，再分別表示出AE、CP的長度，然后利用勾股定理進(jìn)行列式整理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)所對應(yīng)的圖象即可得解．
解答：解：如圖，連接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB-BE=3-y，CP=BC-BP=5-x，
在Rt△BEP中，PE²=BP²+BE²=x²+y²，
在Rt△ADE中，DE²=AE²+AD²=（3-y）²+5²，
在Rt△PCD中，PD²=PC²+CD²=（5-x）²+3²，
在Rt△PDE中，DE²=PE²+PD²，
則（3-y）²+5²=x²+y²+（5-x）²+3²，
整理得，-6y=2x²-10x，
所以y=-x²+x（0＜x＜5），
縱觀各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)符合．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線并證明得到直角三角形，然后在多個(gè)直角三角形應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．