Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，AD=3，DB=4，將圖1中△ADE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°可以得到圖2，則圖1中△ADE和△BDF面積之和為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意易證得四邊形DECF是正方形，則可證得△AED∽△DFB，設(shè)DE=CE=CF=DF=x，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得BF=x，然后由勾股定理求得x的值，即可求得△BDF的面積，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方，△ADE的面積，繼而求得答案．
解答：解：如圖1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF是矩形，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：DE=DF，
∴四邊形DECF是正方形，
∴AC∥DF，DE∥BC，
∴∠A=∠FDB，∠EDA=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴，
設(shè)DE=CE=CF=DF=x，
∴，
∴BF=x，
在Rt△BDF中，BD²=DF²+BF²，
∴4²=x²+（x）²，
解得：x=，
∴DF=，BF=，
∴S_△BDF=DF•BF=××=，
∵S_△BDF：S_△DAE=（）²=，
∴S_△ADE=，
∴S_△ADE+S_△BDF=+=6．
故答案為：6．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．